奇偶检验、海明码检验、循环冗余检验 CRC

# Lecture10 - 校验码

# 差错

# 纠错

# 奇偶校验码

奇校验和偶校验的代价和应用场景不同

偶校验位的产生直接对待发送的数据依次做异或运算就可以得到，而产生奇校验位还要在偶校验电路的输出取非，相对而言，产生奇校验位的代价高，速度也相对慢（慢一个逻辑门的时延）

如果被传输的数据为全 0，此时采用奇校验时，接收端至少会收到 1 个 1，很容易判断确实有传送发生；如果采用偶校验，此时收发双方都是 0，不容易判断是否有信号传来。而对于异步传输，因为有停止位的缘故，采用偶校验，接收方也至少能收到 1 个 1，当然，此时采用奇校验也是可以的；

# 汉明码 / 海明码 Hamming code

# 基本思想和处理过程

C D 通过传输得到 C‘ D’

在接收端，用 D‘得到 C''，和 C’异或，生成故障字。

# 校验码长度

校验码要能够 cover 数据位一位出错、校验位一位出错和没有差错的情况

# 故障字的作用

# 数据位的划分

规定 C1-C4 所对应的情况。再排好 D1-D8 的位置。

例如，1100 对应 C4 和 C3，则就在 C3 和 C4 中取异或。

# 位安排

# 实例

0110 0101 0011

0111 0101 0011

0110 1101 0011

# 码距和纠错理论

合法编码是正确的。

纠错理论： L - 1 = D + C, D >= C

奇偶校验：

如果 D 一位发生变化，C 就发生了变化。如果两位发生了变化，则码距已经超过了 2。奇偶校验不具备检测两位错误的能力。
D 是 1 位，C 是 0 位。

汉明码校验：

D 是 1 位，C 也是 1 位
可以 2 位检测、0 位纠错吗？不可以，用海明码检测基于 “只有一位出现错误” 的假设。比如，如果 1、2 位出现了差错，那么可以对应与 D3 的情况。

# 补充阅读：SEC-D-EC

在海明码中，除了 D4 和 D7 之外，都会影响两位的校验码。

L - 1 = D + C

L - 1= 2 + 1

为了实现两位的检错，需要将码距增加到 4【即添加一个额外的校验位，让数据对应的校验码位数增加到 3 位】

D1 和 D2 有问题，C3 和 D5 有问题是同一种显示。

如何计算单纠错 / 单检错需要的校验位？ 2^k >= M + K + 1

如何计算单纠错 / 双检错需要的校验位？2^k-1 >= M + K + 1

如何计算双纠错 / 双检错需要的校验位？2 ^k >= C_(M+K)² + M + K + 1

# 循环冗余校验 CRC

# 优点

无论是奇偶校验还是海明码，需要的代价都很高。海明码也是以奇偶检测为手段的。

# 基本思想和实现

# 实例

接收方也对 1001 做模 2 运算，余数为 0 则无误。【余数为 111，相等于原来的数加上 111 就能够整除 1001】

1001（x³ + 1)

无借位减，等价于异或运算。

# 总结