浮点数的加减乘除。

# Lecture05 - 浮点数运算

# 回顾

记忆 1+8+23 的（符号位移码原码）

记忆各种情况对应的表示

# 加法和减法

检查 0：如果有 0 存在可以不用计算
对齐有效位：阶码向大值对齐，因为右移较小的数而丢失的数字所造成的的影响较小。右移较小的数有效值的幅值部分 1 位，并将阶值加 1。如果两个数的阶值差别非常大，则较小的数丢失
加或减有效值：原码加减法
规格化结果：把结果调整为左移有效值直到最高有效数字为非 0。
（右规最多是两位，最多是 1.1111...+1.xxxx，对应有效值的上溢）

# 溢出

阶值上溢

最大允许阶值 127（11111110）

右移可能会导致阶值的上溢

阶值下溢
最小阶值为 - 126（00000001）
左移可能会引起阶值的下溢
有效值的上下溢只存在于右规

# 异常

关于数太小阶下溢的问题，在 cpp 中，如果是单精度浮点数，会用非规格化数表示，如果是双精度浮点数，会直接用 0 表示。

# 原码的加法

求补的时候加了 2 的 n 次方

有进位说明 a>b

无进位说明 a<b

01111110 ——127 23 表示有 23 个零

01111101 ——126 21 表示有 21 个零

差了一位，左移一位

1111110 127

1111101 126

然后给 0.4375 取个反

# 乘法和除法

注意乘法和除法的阶值计算 ——

乘法加 bias
除法减 bias
bias 的值为 127【通常，移码的偏移量为 2^k-1 -1，移码的偏移量主要是看想表示多少个负数和多少个正数，阶码的范围是 - 126~127，-127 和 128 分别表示特殊的数】

# 乘法

对于乘法来说，只有右规。【1.x * 1.x 只可能超出】

最高两位为 01，不用处理。

# 除法

x 和 y 可能都是 0，可能会报错或者是正负无穷

对于除法来说，只有左规。【1.x/ 1.x 】

# 精度保护

y 需要左移一位对齐，所以最后一位 1 在不使用附加位的情况下会丢失。

一般而言，多余位的值超过了最低可表示位值的一半，则进位。

重点关注 “10” 强制结果为偶数的分类讨论。如果结果的最低可表示位是 1，结果向上入；当最低可表示位是 0，结果向下入。

朝 0 摄入，被截断值的幅值总是小于或等于更精确原值的幅值，在计算中产生一致的向下偏差。

# 精度考虑

x == (int)(float) x

int 型有 32 位，但是 float 精度只能保存 24 位，会有精度的损失。

x * x >= 0 否

(D + F) - D == F 什么时候不成立？

右边计算出来为 double 型，左边是 float

	float f = 1.0f;
	for(int i = -100; i < 100; i++){
	double d = pow(2,i);
	if((d + f - d) == f){
	cout << i << endl;
	}
	}

对于此例情况，当 i 大于 53 或等于 - 53 时，会输出。

因为此时 f 相对于 d 较小，相当于 0。

补充：双精度 64（1+11+52）小数部分有 52 位。别的情况，i 会有不同的值对应。

i 大于 53 的情况
舍入位虽然是 10，但前置位已经是 0（偶数），因此不进位，所以有精度的丢失。
i 等于 - 53 的情况

舍入位是 10，前置位是 1，因此要进位，从而造成了误差。

只要有精度的丢失，就是 “否”